Partie C : coefficients binomiaux

Le nombre de chemins menant à \(2\) succès parmi \(4\) répétitions de la même épreuve de Bernoulli est le coefficient binomial \(\dbinom{4}{2}=6\).
1. En utilisant le triangle de Pascal construit dans la partie A, et éventuellement l'arbre de la partie B, déterminer les nombres suivants :
    a. \(\dbinom{3}{1}=\;...\)
    b. \(\dbinom{3}{2}=\;...\)
    c.  \(\dbinom{4}{2}=\;...\)
    d.  \(\dbinom{5}{2}=\;...\)
    e. \(\dbinom{5}{3}=\;...\)
    f. \(\dbinom{6}{0}=\;...\)
    g. \(\dbinom{6}{6}=\;...\)
2. Expliquer comment trouver ces nombres dans le triangle de Pascal.
3. Vérifier que \(\dbinom{4}{2}=\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}\).
4. En s'appuyant sur le triangle de Pascal et sur un arbre de probabilités, justifier les propriétés suivantes.

Propriétés

Pour tout \(n\) entier naturel non nul :

\(\boxed{\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1}\)

\(\boxed{\dbinom{n}{1}=\dbinom{n}{n-1}=n}\)

Pour tout \(n\) et \(k\) entiers naturels non nuls, tels que \(n>k\) , \(\boxed{\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}}\).

Les coefficients binomiaux peuvent être trouvés en utilisant le triangle de Pascal. Lorsqu'il est présenté sous la forme ci-dessus, le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) se trouvera sur la ligne \(n+1\) en comptant de haut en bas, et sera le nombre au rang \(k+1\)en comptant de gauche à droite sur la ligne.